Hai Aleesha! Buku latihan ini disusun khas untuk kamu — 8 topik penting yang menjadi asas kepada hampir semua soalan Add Maths Tingkatan 5. Setiap topik ada penjelasan ringkas, contoh yang diselesaikan penuh, dan latihan yang disusun daripada mudah ke sukar.
Kamu tak perlu risau kalau topik ini rasa baru atau payah pada mulanya — itu sebab buku ini wujud. Ambil masa, buat satu topik pada satu masa, dan cuba latihan sendiri dahulu sebelum tengok kunci jawapan.
Baca "Konsep" dan "Contoh" dahulu. Jangan terus buat latihan sebelum faham langkah dalam contoh.
Mula dengan Mudah, baru Sederhana, baru Sukar. Setiap tahap sengaja disusun begitu supaya kamu bina keyakinan dahulu.
Cuba dahulu, semak kemudian. Kunci jawapan ada di bahagian paling belakang — semak satu set selepas siap, bukan sebelum cuba.
Satu modul untuk satu atau dua hari sudah cukup. Tak perlu buat semua sekali gus.
Kalau tersilap, tak mengapa — buat semula bahagian Contoh, kemudian cuba latihan itu sekali lagi.
Modul 1 — Fungsi & Penggantian
Modul 2 — Mengembangkan Ungkapan Algebra
Modul 3 — Hukum Indeks
Modul 4 — Hukum Logaritma
Modul 5 — Hukum Garis Lurus
Modul 6 — Persamaan Kuadratik & Diskriminan
Modul 7 — Pembezaan
Modul 8 — Pengamiran
Kemahiran AsasModul 1 daripada 8
Fungsi & Penggantian
Topik ini muncul dalam hampir setiap bahagian kertas Add Maths — fungsi, fungsi gubahan, dan mencari pemalar yang tidak diketahui.
Konsep
f(a) = b bermaksud: apabila a dimasukkan ke dalam fungsi f, jawapannya ialah b. Untuk mencari pemalar yang tidak diketahui: gantikan nilai input ke dalam formula, samakan dengan nilai output yang diberi, kemudian selesaikan persamaan itu.
Contoh 1
f(x) = 3x − 5. Diberi f(k) = 10, cari nilai k.
1Gantikan input: f(k) = 3k − 5
2Samakan dengan output yang diberi: 3k − 5 = 10
3Selesaikan: 3k = 15
k = 5
Contoh 2 — fungsi gubahan
Diberi f(x) = x² − 1 dan g(x) = 3x. Cari nilai gf(2).
1gf(2) bermaksud g(f(2)) — selesaikan bahagian dalam dahulu
2f(2) = 2² − 1 = 3
3g(3) = 3(3) = 9
gf(2) = 9
Mudah
1
f(x) = 2x + 1. Cari f(3).
2
g(x) = 5 − x. Cari g(−2).
3
h(x) = 4x − 9. Cari h(0).
4
f(x) = 7 − 3x. Cari nilai x apabila f(x) = −5.
Sederhana
1
f(x) = 4x − 7. Jika f(k) = 9, cari nilai k.
2
h(x) = kx + 3. Jika h(2) = 11, cari nilai k.
3
g(x) = 3x − 4. Cari (a) g(0) (b) nilai x apabila g(x) = 11.
4
f: x → 2x + 7. Cari nilai p jika f(p) = f(3) + 4.
cari f(3) dahulu — ia satu nombor, bukan formula
Sukar
1
h(x) = kx + c. Diberi h(1) = 4 dan h(3) = 10, cari nilai k dan nilai c.
kamu akan dapat dua persamaan — selesaikan serentak
2
f(x) = x² − 1 dan g(x) = 3x. Cari nilai fg(2).
3
f(x) = 2x + 1. Selesaikan f(f(x)) = 13.
Kemahiran AsasModul 2 daripada 8
Mengembangkan Ungkapan Algebra
Kemahiran ini digunakan dalam hampir setiap topik — kuadratik, pembezaan, dan banyak lagi.
Konsep
(a + b)² = a² + 2ab + b² — bukan a² + b². Untuk tiga kurungan, kembangkan dua dahulu, kemudian darabkan hasilnya dengan kurungan ketiga.
Contoh 1
Ungkapkan f(x) = (x + 3)² − 4 dalam bentuk a(x − p)(x − q), dengan p > q.
Ungkapkan f(x) = (x − 2)² − 9 dalam bentuk a(x − p)(x − q), p > q.
2
Kembang dan permudahkan (2x − 3)² + (x + 1)².
3
Tulis y = x² + 8x + 15 dalam bentuk (x + p)² + q.
4
Kembangkan (x + 3)(x + 3)(x − 1).
Sukar
1
Kembangkan 4x(2 − x)³ sepenuhnya.
2
Permudahkan (x + h)² − x², kemudian bahagikan hasilnya dengan h.
3
Ungkapkan f(x) = 2(x − 1)² + 3(x + 1) dalam bentuk ax² + bx + c.
Kemahiran AsasModul 3 daripada 8
Hukum Indeks
Kekuatan sebenar dalam topik ini bukan meneka jawapan — tetapi menulis kedua-dua belah persamaan dalam asas yang sama.
Konsep
am×an=am+n · am÷an=am−n · (am)n=amn · a−n=1/an. Untuk menyelesaikan persamaan indeks: tulis semula setiap nombor menggunakan asas yang sama, kemudian samakan kuasa.
Contoh 1
Selesaikan 2ⁿ⁺² ÷ 3ⁿ⁺¹ = 16/27.
116 = 2⁴ dan 27 = 3³, jadi persamaan menjadi 2ⁿ⁺² ÷ 3ⁿ⁺¹ = 2⁴ ÷ 3³
2Samakan kuasa bagi asas yang sama: n+2 = 4 dan n+1 = 3
3Kedua-duanya memberi n = 2 — konsisten
n = 2
Contoh 2
Selesaikan 9ˣ = 27ˣ⁻¹.
1Tulis dalam asas 3: (3²)ˣ = (3³)ˣ⁻¹
23²ˣ = 3³ˣ⁻³
3Samakan kuasa: 2x = 3x − 3
x = 3
Mudah
1
Permudahkan 3⁴ × 3².
2
Permudahkan 5⁷ ÷ 5³.
3
Permudahkan (2³)².
4
Tulis 1/16 sebagai kuasa bagi 2.
Sederhana
1
Selesaikan 2ˣ = 32.
2
Selesaikan 3²ˣ⁻¹ = 27.
3
Selesaikan 5ˣ⁺² = 1/25.
4
Permudahkan (2x²y³)³ ÷ (4xy²)².
Sukar
1
Selesaikan 2ⁿ⁺² ÷ 3ⁿ⁺¹ = 16/27, tunjukkan kerja mengira penuh.
2
Selesaikan 9ˣ = 27ˣ⁻¹, tunjukkan kerja mengira penuh.
3
Selesaikan 4ˣ⁺¹ − 4ˣ = 48.
keluarkan faktor sepunya 4ˣ dahulu
Kemahiran AsasModul 4 daripada 8
Hukum Logaritma
Modul ini membina asas untuk Modul 5 (Hukum Garis Lurus) — luangkan masa yang cukup di sini.
Konsep
log(mn) = log m + log n · log(m/n) = log m − log n · log(mᵏ) = k·log m. Gunakan hukum kuasa dahulu untuk buang sebarang pekali di hadapan log, gabungkan menjadi satu log di setiap belah, kemudian buang log itu.
Contoh 1
Diberi 2 log₁₀(x²y) = 3 + log₁₀x − log₁₀y, ungkapkan y dalam sebutan x.
1Hukum kuasa di kiri: 2 log(x²y) = log[(x²y)²] = log(x⁴y²)
2Tukar 3 kepada log: 3 = log 1000, maka bahagian kanan = log(1000x/y)
3Log sama → nilai dalam log sama: x⁴y² = 1000x/y
4Darab kedua-dua belah dengan y, kemudian bahagi dengan x⁴: y³ = 1000/x³
5Ambil punca kuasa tiga: y = 10/x
y = 10/x
Contoh 2
Selesaikan log₂x + log₂(x − 2) = 3.
1Gabungkan: log₂[x(x−2)] = 3
2Tukar ke bentuk indeks: x(x−2) = 2³ = 8
3x² − 2x − 8 = 0 → (x−4)(x+2) = 0
4x = 4 atau x = −2 — tetapi x > 2 diperlukan (log tak boleh nombor negatif)
x = 4
Mudah
1
Tulis sebagai satu logaritma: log 5 + log 3.
2
Tulis sebagai satu logaritma: log 20 − log 4.
3
Permudahkan 3 log 2 sebagai log bagi satu nombor.
4
Selesaikan log₂x = 5.
Sederhana
1
Selesaikan log₃(x + 1) = 2.
2
Diberi log₁₀2 = 0.301 dan log₁₀3 = 0.477, cari log₁₀12.
12 = 2² × 3
3
Ungkapkan loga(x²/y) dalam sebutan logax dan logay.
4
Selesaikan log₅(2x + 1) = 2.
Sukar
1
Selesaikan 2 log₁₀x = 1 + log₁₀(x − 1).
akan berakhir sebagai persamaan kuadratik
2
Diberi log₂(x²y) = 5 + log₂x − log₂y, ungkapkan y dalam sebutan x.
3
Selesaikan log₃(x + 2) + log₃(x − 2) = 2.
Kemahiran GunaanModul 5 daripada 8
Hukum Garis Lurus
Idea utama: tukarkan persamaan lengkung kepada bentuk garis lurus Y = mX + c, kemudian baca kecerunan dan pintasan terus daripada garis itu, bukan daripada persamaan asal.
Konsep
Ambil log kedua-dua belah persamaan asal sehingga sepadan dengan Y = mX + c. Gunakan dua titik di atas garis untuk cari m (kecerunan) dan c (pintasan), kemudian tukar semula kepada pemalar asal.
Contoh 1
y = p/x². Graf log₃y lawan log₃x ialah garis lurus melalui (0, 3) dan (3, q). Cari nilai p dan q.
1Ambil log₃ kedua-dua belah: log₃y = log₃p − 2 log₃x
2Padankan dengan Y = mX + c: Y = log₃y, X = log₃x, m = −2, c = log₃p
3Pada X = 0 (titik (0,3)): Y = 3 = log₃p → p = 3³ = 27
4Pada X = 3: Y = −2(3) + 3 = −3 → titik ini ialah (3, q), maka q = −3
p = 27, q = −3
Contoh 2
y = Abx. Graf log₁₀y lawan x ialah garis lurus melalui (0, 1.5) dan (5, 3.5). Cari nilai A dan b.
Graf Y lawan X mempunyai kecerunan 4 dan pintasan-Y −2. Tulis persamaan garis itu.
2
log₁₀y = 2x + log₁₀3. Nyatakan Y, X, m dan c, kemudian tulis y dalam sebutan x.
3
Graf log₂y lawan x ialah garis lurus, kecerunan −1, melalui (0, 4). Cari y dalam sebutan x.
4
y = abx. Ambil log kedua-dua belah dan tulis dalam bentuk log y = (log b)x + log a. Nyatakan kecerunan dan pintasannya.
Sederhana
1
Graf log₁₀y lawan x mempunyai pintasan 0.7 dan kecerunan 0.3, dengan y = abx. Cari nilai a dan b.
2
y = kxn. Graf log₁₀y lawan log₁₀x ialah garis lurus, kecerunan 3, melalui (1, 0.5). Cari nilai k dan n.
3
y = p/qˣ. Dua titik pada graf (x, log₁₀y) ialah (6, 0.31) dan (12, −0.05). Cari nilai p dan q.
4
Terangkan dalam satu ayat: mengapa kita perlu mengambil log bagi kedua-dua belah persamaan sebelum melukis graf garis lurus?
Sukar
1
y = p/x². Graf log₃y lawan log₃x ialah garis lurus melalui (0, 3) dan (3, q). Cari nilai p dan q.
2
y = Abx. Graf log₁₀y lawan x melalui (0, 1.5) dan (5, 3.5). Cari nilai A dan b.
3
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh y = 3x2k. Graf log₁₀y lawan log₁₀x ialah garis lurus dengan kecerunan 4. Cari nilai k.
Kemahiran GunaanModul 6 daripada 8
Persamaan Kuadratik & Diskriminan
Sentiasa susun persamaan kepada bentuk piawai dahulu — selepas itu, diskriminan akan memberitahu jenis punca dengan cepat.
Konsep
Susun semula supaya persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0, kemudian baca a, b, c. Diskriminan = b² − 4ac: > 0 dua punca nyata berbeza, = 0 dua punca sama, < 0 tiada punca nyata.
Contoh 1
Cari diskriminan bagi x² = 2(x − 5) dan nyatakan jenis puncanya.
1Kembangkan kanan: x² = 2x − 10
2Susun kepada bentuk piawai: x² − 2x + 10 = 0 → a=1, b=−2, c=10
3Diskriminan = (−2)² − 4(1)(10) = 4 − 40 = −36
Diskriminan = −36 (negatif) → tiada punca nyata
Contoh 2 — syarat tangen
Garis y = p(x − 2) adalah tangen kepada lengkung y = x² + x + 3. Cari nilai-nilai p.
Susun semula x² + 3x = 10 kepada bentuk ax² + bx + c = 0.
2
Untuk x² − 5x + 6 = 0, nyatakan a, b, c dan cari diskriminannya.
3
Cari diskriminan bagi x² − 4x + 4 = 0 dan huraikan punca-puncanya.
4
Susun semula 2x(x − 1) = x + 6 kepada bentuk piawai.
Sederhana
1
Untuk 3x² + 2x + 5 = 0, cari diskriminan dan huraikan punca-puncanya.
2
Cari nilai p supaya x² + px + 9 = 0 mempunyai dua punca sama.
3
Cari julat nilai k supaya x² − 4x + k = 0 mempunyai dua punca nyata yang berbeza.
4
Cari nilai m supaya garis y = 2x + m tidak bersilang dengan lengkung y = x².
Sukar
1
Susun semula dan cari diskriminan bagi x² = 2(x − 5), seterusnya huraikan jenis puncanya.
2
Garis y = p(x − 2) adalah tangen kepada lengkung y = x² + x + 3. Cari nilai-nilai p.
3
Cari julat nilai k supaya persamaan x² + (k−2)x + (k+1) = 0 mempunyai punca-punca nyata.
Kemahiran GunaanModul 7 daripada 8
Pembezaan
Dua petua sahaja yang perlu dikuasai di sini: petua kuasa, dan petua rantai untuk kurungan.
Konsep
Petua kuasa: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹. Terbitan bagi pemalar (nombor, atau huruf yang mewakili pemalar) ialah 0. Petua rantai untuk kurungan: d/dx[(ax+b)ⁿ] = n(ax+b)ⁿ⁻¹ × a — turunkan kuasa, kurangkan kuasa dengan 1, kemudian darab dengan terbitan bahagian dalam kurungan.
Contoh 1 — petua rantai
Bezakan f(x) = 3(1 − 2x)⁻⁸.
1Petua kuasa: 3 × (−8) × (1−2x)⁻⁹
2Petua rantai: darab dengan terbitan (1−2x), iaitu −2
3f′(x) = 3 × (−8) × (1−2x)⁻⁹ × (−2)
f′(x) = 48(1 − 2x)⁻⁹
Contoh 2 — petua hasil darab
Cari kecerunan bagi y = 4x(2 − x)³ pada x = 1.
1Anggap u = 4x (u′ = 4) dan v = (2−x)³ (v′ = −3(2−x)²)
2dy/dx = u′v + uv′ = 4(2−x)³ − 12x(2−x)²
3Pada x = 1: 4(1)³ − 12(1)(1)² = 4 − 12
Kecerunan = −8
Mudah
1
Bezakan y = x³.
2
Bezakan y = 5x² − 3x + 7.
3
Bezakan y = (3x − 2)⁴ menggunakan petua rantai.
4
Bezakan y = 2(4x + 1)³.
Sederhana
1
Cari dy/dx bagi y = x² − 4x + 10p, dengan keadaan p ialah pemalar.
2
Cari koordinat titik pusingan bagi y = x² − 6x + 5.
3
Luas permukaan sfera bertambah pada kadar tetap 30π cm²s⁻¹. Guna A = 4πr² dan petua rantai untuk cari dr/dt apabila r = 3 cm.
4
Bezakan y = (x² + 1)⁵ menggunakan petua rantai.
Sukar
1
Bezakan f(x) = 3(1 − 2x)⁻⁸, nyatakan jawapan dalam bentuk a(1−2x)⁻ᵇ.
2
Cari kecerunan bagi lengkung y = 4x(2 − x)³ pada titik x = 1.
3
Diberi y = x/(2x + 1). Cari dy/dx menggunakan petua hasil bagi.
petua hasil bagi: d/dx(u/v) = (u′v − uv′)/v²
Kemahiran GunaanModul 8 daripada 8
Pengamiran
Modul terakhir — ini adalah kebalikan bagi pembezaan (Modul 7).
Konsep
Petua kuasa songsang: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c. Untuk kurungan, gunakan kaedah penggantian — anggap u sebagai bahagian dalam kurungan, kamir dalam sebutan u, kemudian bahagi dengan terbitan u. Kamiran tentu seperti ∫₀ᵖf(x)dx ialah satu nombor (luas), bukan formula.
Contoh 1 — kaedah penggantian
Cari ∫(x − 3)² dx.
1Anggap u = x − 3
2∫u² du = u³/3 + c
(x − 3)³/3 + c
Contoh 2 — kamiran tentu
Diberi ∫₀ᵖf(x)dx = 3 dan ∫₀ᵖg(x)dx = 6. Cari ∫₀ᵖ[2f(x) + g(x)]dx.
1Pengamiran bersifat linear: = 2∫₀ᵖf(x)dx + ∫₀ᵖg(x)dx
2= 2(3) + 6 — guna terus nombor yang diberi
= 12
Mudah
1
Cari ∫x⁴ dx.
2
Cari ∫(3x² − 2x + 1) dx.
3
Cari ∫(x − 1)⁵ dx.
4
Nilaikan ∫₁³ 2x dx.
jawapan di sini adalah satu nombor
Sederhana
1
Cari ∫(2x + 5)³ dx.
2
Cari ∫√(2x − 1) dx.
3
Lengkung mempunyai fungsi kecerunan dy/dx = 6x² − 4x + 1 dan melalui titik (1, 2). Cari persamaan lengkung itu.
4
Nilaikan ∫₀² (x + 1)² dx.
Sukar
1
Cari ∫(x − 3)² dx menggunakan kaedah penggantian, tunjukkan kerja penuh.
2
Diberi ∫₀ᵖf(x)dx=3 dan ∫₀ᵖg(x)dx=6. Jika ∫₀ᵖ[hf(x)+kg(x)]dx − ∫ₚ⁰g(x)dx = 12, ungkapkan h dalam sebutan k.
ingat: ∫ₚ⁰ = −∫₀ᵖ
3
Diberi dy/dx = (3x − 1)² dan lengkung melalui (0, 2). Cari persamaan lengkung itu.
Kunci Jawapan
Semak satu tahap pada satu masa — bukan terus ke bawah. Kalau jawapan tak sama, buat semula bahagian Contoh dahulu sebelum cuba lagi.
Modul 1 — Fungsi & Penggantian
Mudah
1 f(3) = 7
2 g(−2) = 7
3 h(0) = −9
4 x = 4
Sederhana
1 k = 4
2 k = 4
3 (a) −4 (b) x = 5
4 p = 5
Sukar
1 k = 3, c = 1
2 fg(2) = 35
3 x = 2.5
Modul 2 — Mengembangkan Ungkapan
Mudah
1 x²+4x+4
2 x²−10x+25
3 4x²+4x+1
4 x²−16
Sederhana
1 (x−5)(x+1); p=5, q=−1
2 5x²−10x+10
3 (x+4)²−1
4 x³+5x²+3x−9
Sukar
1 32x−48x²+24x³−4x⁴
2 2x+h
3 2x²−x+5
Modul 3 — Hukum Indeks
Mudah
1 3⁶ = 729
2 5⁴ = 625
3 2⁶ = 64
4 2⁻⁴
Sederhana
1 x = 5
2 x = 2
3 x = −4
4 x⁴y⁵/2
Sukar
1 n = 2
2 x = 3
3 x = 2
Modul 4 — Hukum Logaritma
Mudah
1 log 15
2 log 5
3 log 8
4 x = 32
Sederhana
1 x = 8
2 1.079
3 2logax − logay
4 x = 12
Sukar
1 x = 5 ± √15
2 y = √(32/x)
3 x = √13
Modul 5 — Hukum Garis Lurus
Mudah
1 Y = 4X − 2
2 m=2, c=log3; y=3×10²ˣ
3 y = 16 × 2⁻ˣ
4 kecerunan=log b, pintasan=log a
Sederhana
1 a≈5.01, b≈2.00
2 n=3, k≈0.00316
3 q≈1.15, p≈4.68
4 nilai asal x, y hanya sepadan dengan persamaan lengkung, bukan garis lurus